Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交點C，拋物線過A，C兩點，與x軸交于另一點B．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在直線AC上方的拋物線上有一動點E，連接BE，與直線AC相交于點F，當時，求的值．

（3）點N是拋物線對稱軸上一點，在（2）的條件下，若點E位于對稱軸左側，在拋物線上是否存在一點M，使以M，N，E，B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值為或；（3）存在，M的坐標為或或．

【解析】

（1）先求出A、C兩點坐標，再用待定系數法求解；

（2）如圖，過點E作軸于點H，過點F作軸于點G，則易得△BFG∽△BEH，設點E的橫坐標為t，則，利用相似三角形的性質可求出點F的坐標，再根據EH與FG的關系列出關于t的方程，解方程即可求出t的值，然后在Rt△EBH中即可求出的值；

（3）①當EB為平行四邊形的邊時，分兩種情況：點M在對稱軸右側時，BN為對角線與點M在對稱軸左側時，BM為對角線，利用平移的性質即可求出結果；②當EB為平行四邊形的對角線時，利用平行四邊形對角線的性質和中點坐標公式求解即可.

解：（1）在中，當時，當時，

∴、，

∵拋物線的圖象經過A、C兩點，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為；

（2）令，解得，，∴，

設點E的橫坐標為t，則，

如圖，過點E作軸于點H，過點F作軸于點G，則，∴△BFG∽△BEH，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴點F的橫坐標為，

∴，

∴，

∴，

解得，，

當時，，

當時，，

∴，，

當點E的坐標為時，在中，，，

∴，

∴；

同理，當點E的坐標為時，，

∴的值為或；

（3）∵點N在對稱軸上，∴，

∵點E位于對稱軸左側，∴.

①當EB為平行四邊形的邊時，分兩種情況：

（Ⅰ）點M在對稱軸右側時，BN為對角線，

∵，，，，

∴，當時，，

∴；

（Ⅱ）點M在對稱軸左側時，BM為對角線，

∵，，，，

∴，

當時，，

∴；

②當EB為平行四邊形的對角線時，

∵，，，

∴，

∴，

當時，，

∴；

綜上所述，M的坐標為或或．