【題目】如圖,在△ABC中,已知∠BAC=450，AD⊥BC于點D，BD=2，DC=3，求AD的長。某同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題。請按照這位同學的思路，探究并解答下列問題：
（1）分別以AB，AC為對稱軸，作出△ABD，△ACD的軸對稱圖形，點D的對稱點分別為E，F，延長EB，FC交于點G，證明四邊形AEGF是正方形；
（2）設AD=x，建立關于x的方程模型，求出AD的值。
【答案】（1）見解析；（2）AD=6.
【解析】
（1）先根據△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°判定四邊形AEGF是矩形， 最后由AE=AF從而說明矩形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關于x的方程（x-2）2+（x-3）2=52，求出AD=x=6．
(1)證明：由題意可得：△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF.
∴∠DAB=∠EAB,∠DAC=∠FAC,又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°.
又∵AD⊥BC，
∴∠E=∠ADB=90°,∠F=∠ADC=90°.
∴四邊形AEGF是矩形，
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF.
∴矩形AEGF是正方形.
(2)設AD=x，則AE=EG=GF=x.
∵BD=2，DC=3
∴BE=2，CF=3
∴BG=x2，CG=x3
在Rt△BGC中,BG2+CG2=BC2，
∴(x2)2+(x3)2=52.
化簡得,x25x6=0
解得x1=6,x2=1(舍去)
所以AD=x=6.
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【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=6cm，∠A=60°，點E以1cm/s的速度沿AB邊由A向B勻速運動，同時點F以2cm/s的速度沿CB邊由C向B運動，F到達點B時兩點同時停止運動．設運動時間為t秒，當△DEF為等邊三角形時，t的值為_________．
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【題目】平面直角坐標系內，已知點P（3，3），A（0，b）是y軸上一點，過P作PA的垂線交x軸于B（a，0），則稱Q（a，b）為點P的一個關聯點。
（1）寫出點P的不同的兩個關聯點的坐標是 、 ；
（2）若點P的關聯點Q（x，y）滿足5x-3y=14，求出Q點坐標；
（3）已知C（-1，-1）。若點A、點B均在所在坐標軸的正半軸上運動，求△CAB的面積最大值，并說明理由。
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【題目】已知拋物線經過A（﹣4，0）、B（0，﹣4）、C（2，0）三點，若點M為第三象限內拋物線上一動點，△AMB的面積為S，則S的最大值為_____．
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【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，且BD＝CD，過點A作AM⊥BD于點M，過點D作DN⊥AB于點N，且DN＝
，在DB的延長線上取一點P，滿足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，則AP＝_____.
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【題目】課本拓展
舊知新意：
我們容易證明，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？
嘗試探究
（1）如圖1，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC+∠ECB之間存在怎樣的數量關系？為什么？
初步應用：
（2）如圖2，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1=130°，則∠2-∠C=______；
（3）小明聯想到了曾經解決的一個問題：如圖3，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案______．
3拓展提升：
（4）如圖4，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，∠P與∠A、∠D有何數量關系？為什么？（若需要利用上面的結論說明，可直接使用，不需要說明理由）
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，DO平分∠AOC，OE平分∠BOC，若OA⊥OB，
（1）當∠BOC＝30°，∠DOE＝_______________； 當∠BOC＝60°，∠DOE＝_______________；
（2）通過上面的計算，猜想∠DOE的度數與∠AOB有什么關系，并說明理由．
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