Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸上，點B在第一象限內，∠OAB＝90°，OA＝AB，△OAB的面積為2，反比例函數y＝的圖象經過點B．

（1）求k的值；

（2）已知點P坐標為（a，0），過點P作直線OB的垂線l，點O，A關于直線l的對稱點分別為O′，A′，若線段O′A′與反比例函數y＝的圖象有公共點，直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k＝4；（2）﹣2≤a≤1﹣ 或 2≤a≤1+

【解析】

（1）運用反比例函數的幾何意義，求出k＝4；

（2）運用對稱的點坐標關系，分別表示O′、A′，在第三象限，當點O′在雙曲線上時a取最小值，當點A′在雙曲線上時，a取最大值；在第一象限，同理可求a的取值范圍

解：（1）∵∠OAB＝90°，OA＝AB，

∴設點B的坐標為（m，m），則OA＝AB＝m，

∵△OAB的面積為2，

∴＝2，

解得：m＝2（負值舍去），

∴點B的坐標為（2，2），

代入反比例函數y＝中，得k＝4；

（2）∵B（2，2）

∴∠BOA＝45°，

∵l⊥OB，

∴O′A′⊥x軸

∴P、O′、A′三點共線，且點O′在直線OB上

∴O′（a，a）、A′（a，a﹣2）

當O′在反比例函數圖象上時，有a×a＝4

解得：a1＝﹣2，a2＝2

當A′在反比例函數圖象上時，有a×（a﹣2）＝4

解得：a3＝1+，a4＝1﹣

若線段O′A′與反比例函數y＝的圖象有公共點，

a的取值范圍是：﹣2≤a≤1﹣ 或 2≤a≤1+