Question

【題目】【問題探究】

（）如圖①，點是正高上的一定點，請在上找一點，使，并說明理由．

（）如圖②，點是邊長為的正高上的一動點，求的最小值．

【問題解決】

（）如圖③，、兩地相距， 是筆直第沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路．今計劃在鐵路線上修一個中轉站，再在間修一條筆直的公路．如果同樣的物資在每千米公路上的運費是鐵路上的兩倍．那么，為使通過鐵路由到再通過公路由到的總運費達到最小值，請確定中轉站\的位置，并求出的長．（結果保留根號）

Answer 1

【答案】（）見解析；（）；（）．

【解析】（1）根據等邊三角形的性質得出∠BAD=30°，得出EF=AE；
（2）根據題意得出C，M，N在一條直線上時，此時AM+MC最小，進而求出即可；
（3）作BD⊥AC，垂足為點D，在AC異于點B的一側作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足為點F，交AC于點M，點M即為所求，在Rt△ABD中，求出AD的長，在Rt△MBD中，得出MD的長，即可得出答案．

解：（）過點作于，點即為所求．

證明：∵為正， ，

∴．

（）在中， ，

如圖，作于，交于，

由（）可知，

∴最小．

（）如圖，作于．

在點另一側作，

作于，交于，點即為所求．

在中， ， ．

∴．

在中， ，

∴，

∴，

．

“點睛”此題主要考查了正三角形的性質以及銳角三角函數關系和勾股定理等知識，利用特殊角的三角函數關系得出是解題關鍵．