Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

數學活動課上，老師讓同學們以“三角形的旋轉”為主題開展數學活動，和是兩個全等的直角三角形紙片，其中，，．

解決問題

（1）如圖①，智慧小組將繞點順時針旋轉，發現當點恰好落在邊上時，，請你幫他們證明這個結論；

（2）縝密小組在智慧小組的基礎上繼續探究，連接，當C繞點繼續旋轉到如圖②所示的位置時，他們提出，請你幫他們驗證這一結論是否正確，并說明理由；

探索發現

（3）如圖③，勤奮小組在前兩個小組的啟發下，繼續旋轉，當三點共線時，求的長；

（4）在圖①的基礎上，寫出一個邊長比為的三角形（可添加字母）．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）正確，理由詳見解析；（3）；（4）答案不唯一，合理即可．

【解析】

（1）如圖①中，根據旋轉的性質可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得∠ACD=60°，然后根據內錯角相等，兩直線平行進行解答；

（2）如圖②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延長線于N．根據旋轉的性質可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據全等三角形對應邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明．

（3）如圖③中，作CH⊥AD于H．解直角三角形求出AD，證明∠BAD=90°，利用勾股定理即可解決問題．

（4）根據含有30°的直角三角形的三邊之比為1：：2求解即可．

（1）如圖①中，∵△DEC繞點C旋轉點D恰好落在AB邊上，

∴AC=CD，

∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴∠ACD=60°，

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠ACD=∠CDE，

∴DE∥AC；

（2）如圖②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延長線于N．

∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉得到

∴BC=CE，AC=CD，

∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，

∴∠ACN=∠DCM，

在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN=DM，

∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S△BDC=S△AEC．

（3）如圖③中，作CH⊥AD于H．

∵，

∵B，A，E共線，

∴∠BAC+∠EAC=180°，

∴∠EAC=120°，

∵∠EDC=60°，

∴∠EAC+∠EDC=180°，

∴A，E，D，C四點共圓，

∴∠CAD=∠CED=30°，∠BAD=90°，

∵CA=CD，CH⊥AD，AC=CD=AB=2

∴AH=DH=ACcos30°=，

∴AD=2，

∴．

（4）如圖①中，設DE交BC于T．

因為含有30°的直角三角形的三邊之比為1：：2，

由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直三角形，

∴△BDT，△DCT，△ECT符合條件．