Question

【題目】已知銳角△ABC內接于⊙O，AD⊥BC于點D，連接AO．

（1）如圖1，求證：∠BAO＝∠CAD；

（2）如圖2，CE⊥AB于點E，交AD于點F，過點O作OH⊥BC于點H，求證：AF＝2OH；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝，BC＝，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；+3．

【解析】

（1）延長AO交⊙O于K，連接BK．利用等角的余角相等證明即可．

（2）延長CO交⊙O于M，連接AM，BM，連接BF．證明四邊形AMBF是平行四邊形，BM＝2OH即可解決問題．

（3）延長CO交⊙O于M，連接AM，BM，連接BF．證明∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，推出tan∠DBF＝tan∠BAP＝＝，設DF＝x，則BD＝3x，CD＝2﹣3x，AD＝6﹣9x，AF＝BM＝6﹣10x，構建方程即可解決問題．

（1）證明：延長AO交⊙O于K，連接BK．

∵AK是直徑，

∴∠ABK＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∵∠BAO+∠K＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∠K＝∠C，

∴∠BAO＝∠DAC．

（2）證明：延長CO交⊙O于M，連接AM，BM，連接BF．

∵CM是直徑，

∴∠CBM＝∠MAC＝90°，

∵OH⊥BC，

∴BH＝CH，∠OHC＝∠CBM＝90°，

∴AD∥BM，

∵OC＝OM，

∴BM＝2OH，

∵AD⊥BC，CA⊥AB，

∴BF⊥AC，∵A⊥AC，

∴AM∥BF，

∴四邊形AMBF是平行四邊形，

∴AF＝BM，

∴AF＝2OH．

（3）解：延長CO交⊙O于M，連接AM，BM，連接BF．

由（2）可知，四邊形AMBF是平行四邊形，

∴AF＝BM，

∴OA＝AF，

∴BM＝OA，

∴CM＝2BM，

∵∠CBM＝90°，

∴∠BCM＝30°，

∵∠BAO＝∠DAC＝∠DBF，

∴tan∠DBF＝tan∠BAP＝＝，設DF＝x，則BD＝3x，CD＝2﹣3x，AD＝6﹣9x，AF＝BM＝6﹣10x，

∵BC＝2，

∴BM＝BCtan30°＝2，

∴6﹣10x＝2，

∴x＝，

∴AC＝＝+3．