Question

【題目】如圖，A是以BC為直徑的⊙O上一點，I是△ABC的內心，AI的延長線交⊙O于點D，過點D作BC的平行線交AB、AC的延長線于E、F．下列說法：①△DBC是等腰直角三角形；②EF與⊙O相切；③EF=2BC；④點B、I、C在以點D 為圓心的同一個圓上．其中一定正確的是_______（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根據內心的定義得到∠BAD=∠CAD，再根據圓周角定理得到BD=CD，即可判斷①；

根據直角三角形的性質即可判斷②，根據三角形的中位線性質判斷③即可，連接BI、CI，根據三角形的內心及三角形的外角的性質求出DB=DI，即可判斷④.

∵I是△ABC的內心，

∴∠BAD=∠CAD，

∴BD=CD，

∵BC為⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∴△DBC是等腰直角三角形，故①正確；

連接OD，

∵BC為⊙O的直徑，BD=CD，

∴OD⊥BC，

∵EF∥BC，

∴OD⊥EF，

∴EF與⊙O相切，故②正確；

∵點B、C不是AE和AF的中點，

∴BC不是△AEF的中位線，

∴，故③錯誤；

連接BI、CI，

∵I是△ABC的內心，

∴∠ABI=∠CBI，

∵∠BAD=∠CAD=∠CBD，

∴∠CBD+∠CBI=∠BAD+∠ABI，

∴∠DBI=∠DIB，

∴DB=DI=DC，

∴點B、I、C在以點D 為圓心的同一個圓上，故④正確.