Question

【題目】如圖，已知直線l分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與雙曲線y= （a≠0，x＞0）分別交于D、E兩點．

（1）若點D的坐標為（4，1），點E的坐標為（1，4）：
①分別求出直線l與雙曲線的解析式；
②若將直線l向下平移m（m＞0）個單位，當m為何值時，直線l與雙曲線有且只有一個交點？
（2）假設點A的坐標為（a，0），點B的坐標為（0，b），點D為線段AB的n等分點，請直接寫出b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①把D（4，1）代入y= 得a=1×4=4，

所以反比例函數解析式為y= （x＞0）；

設直線l的解析式為y=kx+t，

把D（4，1），E（1，4）代入得 ，

解得 ．

所以直線l的解析式為y=﹣x+5；

②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y=﹣x+5﹣m，

當方程組 只有一組解時，直線l與雙曲線有且只有一個交點，

化為關于x的方程得x2+（m﹣5）x+4=0，

△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，

而m=9時，解得x=﹣2，故舍去，

所以當m=1時，直線l與雙曲線有且只有一個交點

（2）

解：作DF⊥x軸，如圖，

∵點D為線段AB的n等分點，

∴DA：AB=1：n，

∵DF∥OB，

∴△ADF∽△ABO，

∴ ，即 ，

∴AF= ，DF= ，

∴OF=a﹣ ，

∴D點坐標為（a﹣ ， ），

把D（a﹣ ， ）代入y= 得（a﹣ ） =a，

解得b= ．

【解析】（1）①運用待定系數法可分別得到直線l與雙曲線的解析式；
②直線l向下平移m（m＞0）個單位得到y=﹣x=5﹣m，根據題意得方程組 只有一組解時，化為關于x的方程得x2+（m﹣5）x+4=0，則△=（m﹣5）2﹣4×4=0，解得m1=1，m2=9，當m=9時，公共點不在第一象限，所以m=1；（2）作DF⊥x軸，由DF∥OB得到△ADF∽△ABO，根據相似比可得到AF= ，DF= ，則D點坐標為（a﹣ ， ），然后把D點坐標代入反比例函數解析式中即可得到b的值．
【考點精析】本題主要考查了反比例函數的圖象和反比例函數的性質的相關知識點，需要掌握反比例函數的圖像屬于雙曲線．反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x．對稱中心是：原點；性質:當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小； 當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大才能正確解答此題．