Question

【題目】如圖，拋物線 與 軸交于和，與 軸交于 點，點關于拋物線的對稱軸的對稱點為點．

（1）求此拋物線的解析式和對稱軸．

（2）如圖 2，當點在拋物線的對稱軸上運動時，在直線上是否存在點，使得以點、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點 的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖 3，當點、、三點共圓時，請求出該圓圓心的坐標．

Answer 1

【答案】（1），x=1；（2）存在，點 F 的坐標為或或；（3）

【解析】

（1）把點 和代入 中求出解析式，再求出對稱軸即可；

（2）分分三種情況討論，作出示意圖，求出點F的坐標即可；

（3）分別作 的垂直平分線，它們的交點為 點，點就是點 、、 三點共圓的圓心，先表示出EF和FM，再根據求出即可.

解：（1）把點 和代入 ，得

解得：，

∴拋物線的解析式為：，

∴對稱軸；

（2）存在，分三種情況討論，

①如圖 1 所示，

∵四邊形為平行四邊形，

∴可由平移得到，點的對應點為點，點的對應點為點 ，

∵，點 的橫坐標為 1，

∴向右平移了一個單位，

∵，

∴點的橫坐標為 0，

設直線 的函數解析式為： ，

把點和 代入，得，

解得：，

∴直線 的函數解析式為：，

∴當 時， ，

∴；

②如圖 2 所示，

此時點 與點 重合，

；

③如圖 3 所示，

根據平移的規律，得知點 的橫坐標為﹣2，

當 時，，

；

綜上所述：點 F 的坐標為或或；

（3）如圖，分別作 的垂直平分線，它們的交點為 點，點就是點 、、 三點共圓的圓心，

∵點是 的中點，

,

設直線 的解析式為： ，

把 代入上式，得，

，

當 時，，解得：，

，

當時，，

，

如圖，易證得：，

，

，

，

，

當時，,，

∴點 、、三點共線的圓的圓心坐標為.