Question

【題目】在平面直角坐標系中，將函數y＝2x2＋2的圖象繞坐標原點0順時針旋轉45°后，得到新曲線l.

(1)如圖①，已知點A(-1，a)，B(b，10)在函數y＝2x2＋2的圖象上，若A’、B’是A、B旋轉后的對應點，連結OA’，OB’，則S△OA’B’=____.

(2)如圖②，曲線與直線相交于點M、N，則S△OMN為_________.

Answer 1

【答案】9

【解析】

（1）如圖③，連結OA、OB、AB，則由旋轉的性質可知S△OA’B’=S△OAB.根據題意求出A,B坐標，構造三角形即可求出S△OAB.

（2）先畫出圖形，根據旋轉的性質，可知S△OMN=S△OM’N’.由題意可知直線M’ N’的解析式為y=x+3，從而求出M’ ，N’的橫坐標分別為、1，得出直線M’ N’與y軸的交點記為C，其坐標為(0，3)，即可得出S△OAB.

(1)如圖③，連結OA、OB、AB，則由旋轉的性質可知S△OA’B’=S△OAB.

由A、B在函數y＝2x2＋2的圖象上，可求得A(-1，4)、B(2，10).

分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別記為P、Q，則有：

S△OAB=S梯形APQB-S△PAO-S△QBO=×（4+10）×3-×1×4-×2×10=9.

(2)將曲線l、直線和△OMN繞著原點O逆時針旋轉45°，旋轉之后的圖象如圖④所示: △OMN旋轉到△OM’ N’的位置，直線旋轉到直線M’ N’的位置.

圖④

根據旋轉的性質，可知S△OMN= S△OM’N’.

直線MN與y軸的交點 (0,)經過旋轉之后，其坐標變為(-,)，顯然該點在直線M’ N’.

而直線M’ N’的斜率為1，易求得直線M’ N’的解析式為y=x+3.

令2x2+2=x+3，整理得2x2-x-1=0，解得x=1或，即M’ 、N’的橫坐標分別為、1.

直線M’ N’與y軸的交點記為C，其坐標為(0，3).

故S△OMN= S△OM’N’=OC=×3×=.