Question

【題目】如圖，取一副三角板按圖1拼接，固定三角板ADE（含30°），將三角板ABC（含45°）繞點A順時針方向旋轉一個大小為α的角（0°＜α≤45°），試問：

（1）當∠α=_____度時，能使圖2中的AB∥DE；

（2）當旋轉到AB與AE重疊時（如圖3），則∠α=_____度；

（3）當△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，直接寫出旋轉角α的所有可能的度數；

（4）當0°＜α≤45°時，連接BD（如圖4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE的值的大小變化情況，并說明理由．

Answer 1

【答案】 15° 45°(3) 15°，45°，105°，135°，150° (4) 保持不變；理由見解析

【解析】試題分析: （1）根據平行線的性質，可得∠BAE=∠E=30°，再根據∠BAC=45°，即可得出∠CAE=45°-30°=15°；
（2）根據當旋轉到AB與AE重疊時，∠α=∠BAC即可得到結果；
（3）要分5種情況進行討論：AD∥BC、DE∥AB、DE∥BC、DE∥AC、AE∥BC，分別畫出圖形，計算出度數即可；
（4）先設BD分別交AC、AE于點M、N，在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，再根據∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，得出∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，然后根據∠C=30°，∠E=45°，即可得出∠BDE+∠CAE+∠DBC的度數．

試題解析:

（1）如圖2，當AB∥DE時，∠BAE=∠E=30°，
∵∠BAC=45°，
∴∠CAE=45°-30°=15°，
即∠α=15°，
故答案為：15；
（2）當旋轉到AB與AE重疊時，∠α=∠BAC=45°，
故答案為：45；

（3）當△ADE的一邊與△ABC的某一邊平行（不共線）時，旋轉角α的所有可能的度數是：15°，45°，105°，135°，150°；

(4）當0°＜α＜45°，∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°，保持不變；理由如下：

設BD分別交AC、AE于點M、N，

在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM=180，

∵∠ANM=∠E+∠BDE，∠AMN=∠C+∠DBC，

∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC=180°，

∵∠C=30°，∠E=45°，

∴∠BDE+∠CAE+∠DBC=105°.