Question

【題目】一位同學拿了兩塊45°的三角尺△MNK、△ACB做了一個探究活動：將△MNK的直角頂點M放在△ABC的斜邊AB的中點處，設AC=BC=a．

（1）如圖1，兩個三角尺的重疊部分為△ACM，則重疊部分的面積為 ,周長為 .

（2）將圖1中的△MNK繞頂點M逆時針旋轉45°，得到圖2，此時重疊部分的面積為 ,周長為 .

2（3）如果將△MNK繞M旋轉到不同于圖1，圖2的位置，如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證．

Answer 1

【答案】（1）重疊部分的面積是△ACB的面積的一半為a2，周長為（1+）a．（2）邊長為a，面積為a2，周長為2a．（3）．

【解析】解：（1）∵AM=MC=AC=a，則

∴重疊部分的面積是△ACB的面積的一半為a2，周長為（1+）a．

（2）∵重疊部分是正方形

∴邊長為a，面積為a2，周長為2a．

（3）猜想：重疊部分的面積為．

理由如下：

過點M分別作AC、BC的垂線MH、MG，垂足為H、G

設MN與AC的交點為E，MK與BC的交點為F

∵M是△ABC斜邊AB的中點，AC=BC=a

∴MH=MG=

又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，

∴∠HME=∠GMF，

∴Rt△MHE≌Rt△MGF

∴陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積

∵正方形CGMH的面積是MGMH=×=

∴陰影部分的面積是．