Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為（4，0），與y軸交于點C（0，4）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P在x軸下方的拋物線上，過點P的直線y=x+m與直線BC交于點E，與y軸交于點F，求PE+EF的最大值；

（3）點D為拋物線對稱軸上一點．

①當△BCD是以BC為直角邊的直角三角形時，直接寫出點D的坐標；

②若△BCD是銳角三角形，直接寫出點D的縱坐標n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4；（2）PE+EF的最大值為；（3）①符合條件的點D的坐標是（，）或（，﹣）；②點D的縱坐標的取值范圍為＜y＜或﹣＜y＜．

【解析】（1）利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）易得BC的解析式為y=﹣x+4，先證明△ECF為等腰直角三角形，作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖1，則△EPG為等腰直角三角形，PE=PG，設P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），則G（t，﹣t+3），接著利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=﹣t2+5t，然后利用二次函數的性質解決問題；

（3）①如圖2，拋物線的對稱軸為直線x=﹣點D的縱坐標的取值范圍；

②由于△BCD是以BC為斜邊的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，得到此時D點坐標為（，）或（，），然后結合圖形可確定△BCD是銳角三角形時點D的縱坐標的取值范圍．

（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得

，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣5x+4；

（2）由B（4，0），C（0，4），根據待定系數法易得BC的解析式為y=﹣x+4，

∵直線y=x+m與直線y=x平行，

∴直線y=﹣x+4與直線y=x+m垂直，

∴∠CEF=90°，

∴△ECF為等腰直角三角形，

作PH⊥y軸于H，PG∥y軸交BC于G，如圖1，△EPG為等腰直角三角形，PE=PG，

設P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），則G（t，﹣t+4），

∴PF=PH=t，PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，

∴PE=PG=﹣t2+2t，

∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4t+t=﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+，

當t=時，PE+EF的最大值為；

（3）①如圖2，拋物線的對稱軸為直線x=，

設D（，y），則BC2=42+42=32，DC2=（）2+（y﹣4）2，BD2=（4﹣）2+y2=+y2，

當△BCD是以BC為直角邊，BD為斜邊的直角三角形時，BC2+DC2=BD2，

即32+（）2+（y﹣4）2=+y2，解得y=5，此時D點坐標為（，）；

當△BCD是以BC為直角邊，CD為斜邊的直角三角形時，BC2+DB2=DC2，

即32++y2=（）2+（y﹣4）2，解得y=﹣1，此時D點坐標為（，﹣）；

綜上所述，符合條件的點D的坐標是（，）或（，﹣）；

②當△BCD是以BC為斜邊的直角三角形時，DC2+DB2=BC2，即（）2+（y﹣4）2++y2=32，解得y1=，y2=，此時D點坐標為（，）或（，），

所以△BCD是銳角三角形，點D的縱坐標的取值范圍為＜y＜或﹣＜y＜．