Question

【題目】取一副三角板按如圖拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A按順時針方向旋轉一個大小為的角()得三角形ABC′如圖所示.

試問：(1)當旋轉到如圖的位置時，則= °；

(2)當= °時，能使如圖中3的AB//CD；

(3)連接BD，當時，探尋∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的說明.

Answer 1

【答案】(1)45；(2)15；(3)∠DBC′+∠CAC′+∠BDC為定值105°，理由見解析.

【解析】

（1）當旋轉到圖2所示位置時，α=45°；
（2）若AB∥DC，則∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（3）連接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，利用三角形內角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．

解：（1）當旋轉到圖2所示位置時，
∵AB邊旋轉了45°，
∴α=45°，
故答案為：45；

（2）如圖3，
∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
所以當α=15°時，AB∥DC，
故答案為：15；

（3）當0°＜α≤45°時，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．

連接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，∠BOD=∠COC′，
∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠BDO+∠α+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C+∠α，
=180°-∠ACD-∠AC′B，
=180°-45°-30°
=105°，
∴當0°＜α≤45°時，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．