Question

【題目】如圖，已知二次函數y=﹣x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點A（5，3），點C（0，8），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交該二次函數圖象于點B，連結BC．

（1）求該二次函數的解析式及點M的坐標；

（2）求△ABC的面積；

（3）若將該二次函數圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數圖象的頂點落在△ABC的內部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣2）2+12，M（2，12）

（2）S△ABC=15

（3）6＜m＜9

【解析】

試題分析：（1）把點A、C的坐標代入函數解析式，用待定系數法求出拋物線解析式；

（2）結合點A、B、C的坐標，三角形的面積公式進行解答；

（3）點M是沿著對稱軸直線x=2向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=2代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值，即可得到m的取值范圍．

解：（1）把點A（5，3），點C（0，8）代入二次函數y=﹣x2+bx+c，得

，

解得 ，

∴二次函數解析式為y=﹣x2+4x+8，配方得y=﹣（x﹣2）2+12

∴點M的坐標為（2，12）；

（2）由（1）知，拋物線的對稱軸是x=2．

∵A（5，3），AB∥x軸，

∴AB=6，D（0，3）

∵C（0，8），

∴CD=5，

∴△ABC的面積=ABCD=×6×5=15，

即△ABC的面積=15；

（3）設直線AC解析式為y=kx+b，把點A（5，3），C（0，8）代入 ，

解得 ，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+8，對稱軸直線x=2與△ABC兩邊分別交于點E、點F，

把x=2代入直線AC解析式y=﹣x+8，

解得y=6，則點E坐標為（2，6），點F坐標為（2，3）

∴3＜12﹣m＜6，解得6＜m＜9．