Question

【題目】已知在和中，，，，交于點，為線段上一動點，以每秒的速度從勻速運動到，過作直線，且，點在直線的右側，設點運動時間為.

（1）當為等腰三角形時， ；

（2）當點在線段上時，過點作于點，求證；

（3）當點在線段上運動的過程中，的面積是否變化？若不變，求出它的值.

Answer 1

【答案】（1）3或6或；（2）見解析；（3）不變，S△ABQ=9.

【解析】

（1）分三種情況討論，由等腰三角形的性質可求BF的長，即可求t的值；
（2）由等腰三角形的性質可得∠AOB=90°，由“AAS”可證△AOF≌△FHQ；
（3）由“AAS”可證△AOF≌△FHQ，可得OF=QH=t-3，由面積的和差關系可求解．

（1）∵∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
若AB=AF時，即點F與點D重合，
∴BF=BD=6cm，
∴t==6，
若BF=AF時，
∴∠ABF=∠BAF=45°，
∴∠AFB=90°，
∴AF⊥BD，且AB=AD
∴BF=DF=3cm，
∴t==3，
若AB=BF=cm，
∴t==
故答案為：3或6或.
（2）如圖1，

∵∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=CB，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AF⊥FQ，QH⊥BD，
∴∠AFQ=∠FHQ=90°，
∴∠QFH+∠FQH=90°，∠AFO+∠QFH=90°，
∴∠AFO=∠FQH，AF=FQ，∠AOF=∠FHQ=90°
∴△AOF≌△FHQ（AAS）
（3）不變，
理由如下：如圖2，過點Q作QH⊥BD，

∵∠DAB=∠ABC=90°，AD=AB=CB，
∴∠ABD=∠ADB=45°，∠BAC=∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°，
∵AF⊥FQ，QH⊥BD，
∴∠AFQ=∠FHQ=90°，
∴∠QFH+∠FQH=90°，∠AFO+∠QFH=90°，
∴∠AFO=∠FQH，AF=FQ，∠AOF=∠FHQ=90°
∴△AOF≌△FHQ（AAS）
∴OF=QH=t-3，
∵S△ABQ=S△ABF+S△AFQ-S△BFQ=BF×AO+×AF2-×BF×QH
∴S△ABQ=×t×3+ [32+（t-3）2]-×t×（t-3）=9
故△ABQ的面積不發生變化．