Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒（t＞0）.過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.

（1）求證：AE=DF；

（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能，說明理由.

（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）能，；（3）或4時，△DEF為直角三角形.

【解析】

在中，，，根據30°角直角三角形的性質及已知條件即可證得結論；

先證得四邊形AEFD為平行四邊形，使AEFD為菱形則需要滿足的條件為AE=AD，由此即可解答；

時，四邊形EBFD為矩形在Rt△AED中求可得，由此即可解答；時，由知，則得，求得，由此列方程求解即可；時，此種情況不存在．

在中，，，，

．

又，

．

能，

，，

．

又，

四邊形AEFD為平行四邊形．

，

．

．

若使AEFD為菱形，則需，

即，．

即當時，四邊形AEFD為菱形．

時，四邊形EBFD為矩形．

在中，，

．

即，．

時，由四邊形AEFD為平行四邊形知，

．

，

．

即，．

時，此種情況不存在．

綜上所述，當秒或4秒時，為直角三角形．