Question

【題目】（1）已知：如圖1，AB是的直徑，點P為上一點（且點P不與A、B重合）連接PA，PB，的角平分線PC交于點C.

①若，求AB的長

②求證：

（2）如圖2，在正方形ABCD中，，若點P滿足，且，請直接寫出點B到AP的距離.

Answer 1

【答案】（1）①，②見解析；（2）或

【解析】

（1）①由AB是的直徑，在Rt中，利用勾股定理可求得AB的長；

②延長到，使，構造

和中，

在同圓中利用圓周角相等，所對弧相等，所對的弦相等，證明，

利用圓內接四邊形的一個外角等于不相鄰的內角，證明，

BD=PA為所作，所以(SAS)

從而證得：,

易證明是直角三角形，利用勾股定理可證明結論.

(2)要滿足，P點一定落在正方形的外接圓上，分兩種情況：

P點在上或P點在上,

在RtABC和RtAPC中，可求得AC、AP的長，

利用同圓中同弧所對圓周角相等，證得，

證得：RtQPB為等腰直角三角形，

設BQ＝x，把已知和未知歸結到RtQAB中，利用方程思想可以求得x的值.

（1）①AB是的直徑，∴，

在Rt中，，

∴,

故答案是：

②如圖，延長AB到D，使，連接

∵PC是的平分線，

∴，

四邊形APBC是圓內接四邊形，

∴

在和中，

∴(SAS)

∴,

∵

∴即

在Rt中，

即：

∴

（2）要滿足，P點一定在正方形的外接圓上，分兩種情況：

第一種情況，P點在上，如圖：連接,作,

在中，，∴AC=,

在中，,由勾股數可得：，

，

在中，, ∴,

設，則，

在中，

即,化簡得：

即,解得：，（不合題意，舍去）

故答案為：.

第二種情況，P點在上，如圖：

依照第一種情況得出的數據，

在中，, ∴PE=BE,

設，則，

在中，

即,化簡得：

即,解得：（不合題意，舍去），

故答案為：.

綜上：點B到AP的距離是或.