Question

【題目】如圖，在中，點O是邊AC上一個動點，過點O作直線//BC，分別交，外角的平分線于點E、F.

（1）猜想與證明，試猜想線段OE與OF的數量關系，并說明理由.

（2）連接AE，AF，問：當點O在邊AC上運動時到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由.

（3）若AC邊上存在一點O，使四邊形AECF是正方形，猜想的形狀并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）OE=OF，理由見解析.

（2）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形；

理由見解析.

（3）△ABC是直角三角形；證明見解析.

【解析】

（1）根據CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據等邊對等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．
（2）利用矩形的判定解答，即有一個內角是直角的平行四邊形是矩形．
（3）利用已知條件及正方形的性質問題可解．

（1）證明：∵CE是∠ACB的平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
∵MN∥BC，
∴∠BCE=∠E，
∴∠ACE=∠E，
∴OE=OC，
同理可證OC=OF，
∴OE=OF；
（2）解：如圖

當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．
理由是：當O為AC的中點時，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACG=（∠ACB+∠ACG）=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形

理由是：∵四邊形AECF是正方形，
∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AOM，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形．