Question

【題目】如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AC且交AD于E，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接CE和AG．
（1）求證：△ADG≌△CDE；
（2）當(dāng)CE平分∠ACD時(shí)，求tan∠AGD．

Answer 1

【答案】（1）證明：在正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠ADG=180°﹣∠ADC=90°，
∴∠CDE=∠ADG，
又∵EF⊥AC，
∴∠AEF=90°﹣∠CAD=45°，
∴∠DEG=∠AEF=45°，
在Rt△EDG中，∠DGE=90°﹣∠DEG=45°，
∴∠DGE=∠DEG，
∴ED=GD
在△ADG與△CDE中，
，
∴△ADG≌△CDE（SAS）；
（2）∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECG，
又∵EF⊥AC，AD⊥CD，
∴ED=EF，
∴EF=AF=DE=DG，
設(shè)DG為k，則ED=k，AE=k，AD=AE+ED=（+1）k，
tan∠AGD==+1
【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形證明△ADG與△CDE全等即可；
（2）設(shè)DG為k，利用三角函數(shù)的正切值解答即可．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的正方形的性質(zhì)，需要了解正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能得出正確答案．