Question

【題目】問題背景

如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，

，于是．

遷移應用

（1）如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三點在同一直線上，連接BD．

（ⅰ）求證：△ADB≌△AEC；

（ⅱ）請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關系式．

拓展延伸

（2）如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內作射線BM，作點C關于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF．

（ⅰ）證明：△CEF是等邊三角形；

（ⅱ）若AE=5，CE=2，求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）3

【解析】分析：（ⅰ）根據,得到，又,即可證明.

（ⅱ）根據 ≌，得到借助問題背景的結論得到

根據即可寫出線段AD，BD，CD之間的等量關系式．

（ⅰ）連接BE．根據有一個角等于的等腰三角形是等邊三角形證明即可.

（ⅱ）如圖3，過點B作BH⊥AF于H, AE=5，EF=EC=2，得到FH=4.5，根據 , 即可求出BF的長.

詳解：（1）（ⅰ）如圖，∵, ≌.

∴ ,

在和中，

∵

∴ ≌.

（ⅱ） ≌.

.

（2）（ⅰ）連接BE．如圖3，

∵E、C關于BM對稱,

∴ 設，則,

.

∵

∴

∴，

又∵

∴△CEF是等邊三角形

（ⅱ）如圖3，過點B作BH⊥AF于H

∵AE=5，EF=EC=2，

∴FH=4.5，

在Rt△BHF中，

∵∠BFH=30°，

∴ ,

∴.