Question

【題目】如圖，在中，，，

（1）圖1中共有_______對相似三角形；

（2）已知，請求出的長；

（3）在（2）的情況下，如果以為軸，為軸，點為坐標原點，建立直角坐標系（如圖2），若點從點出發，以每秒1個單位的速度沿線段運動，點出點出發，以每秒1個單位的速度沿線段BA運動，其中一點最先到達線段的端點時，兩點即刻同時停止運動：設運動時間為秒是否存在點，使以點為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；（2）4.8；（3）點P的坐標為（1.35，3）或（3.15，1.8）．

【解析】

（1）根據直角三角形性質和相似三角形判定可得結果；（2）根據勾股定理和三角形面積公式可得；（3）分類討論：①當∠BQP=90°時，如圖2①，此時△PQB∽△ACB；②當∠BPQ=90°時，如圖2②，此時△QPB∽△ACB；根據相似三角形性質和勾股定理可得.

（1）根據已知可得：∠A=∠BCD, ∠B=∠ACD,故：圖1中共有3對相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD．
故答案為3，△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ABC∽△CBD；
（2）如圖1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8，
∴BC==6．
∵△ABC的面積=ABCD=ACBC，
∴CD==4.8；

（3）存在點P，使以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似，理由如下：
在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8，
∴OB==3.6．
分兩種情況：
①當∠BQP=90°時，如圖2①，此時△PQB∽△ACB，

解得t=2.25，即BQ=CP=2.25，
∴OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35，BP=BC-CP=6-2.25=3.75．
在△BPQ中，由勾股定理，得PQ===3，
∴點P的坐標為（1.35，3）；

②當∠BPQ=90°時，如圖2②，此時△QPB∽△ACB，

∴

∴，
解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC-CP=6-3.75=2.25．
過點P作PE⊥x軸于點E．
∵△QPB∽△ACB，
∴，即，
∴PE=1.8．
在△BPE中，BE==0.45，
∴OE=OB-BE=3.6-0.45=3.15，
∴點P的坐標為（3.15，1.8）；
綜上可得，點P的坐標為（1.35，3）或（3.15，1.8）．