Question

【題目】對于平面直角坐標系中的點，，給出如下定義：若，為某個三角形的頂點，且邊上的高，滿足，則稱該三角形為點，的“生成三角形”．

(1)已知點；

①若以線段為底的某等腰三角形恰好是點，的“生成三角形”，求該三角形的腰長；

②若是點，的“生成三角形”，且點在軸上，點在直線上，則點的坐標為______；

(2)的圓心為點，半徑為2，點的坐標為，為直線上一點，若存在，是點，的“生成三角形”，且邊與有公共點，直接寫出點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)①該三角形的腰長為；②，或；(2).

【解析】

(1)①畫圖，不妨設滿足條件的三角形為等腰，則．過點作于點，由勾股定理可求得其腰長；

②分點為直角頂點和點為直角頂點兩種情況，結合圖形可得結論；

(2)分點為直角頂點和點為直角頂點，由圖形可得答案．

(1)①如圖，不妨設滿足條件的三角形為等腰，則．過點作于點，

∴，

∵以線段為底的等腰恰好是點，的“生成三角形”，

∴．

∴，

答：該三角形的腰長為．

②如圖所示：若為直角頂點時，點的坐標為或；

若為直角頂點時，點的坐標為或，

綜上，點的坐標為，或．

(2)由圖可得：

若為直角頂點：；

若為直角頂點：；

綜上，．

答：點的橫坐標的取值范圍為：．