Question

【題目】某數學活動小組在一次活動中，對一個數學問題作如下探究：

（問題發現）如圖1，正方形ABCD的四個頂點都在⊙O上，若點E在弧AB上，F是DE上的一點，且DF＝BE．試說明：△ADF≌△ABE；

（變式探究）如圖2，若點E在弧AD上，過點A作AM⊥BE，請說明線段BE、DE、AM之間滿足等量關系：BE﹣DE＝2AM；

（解決問題）如圖3，在正方形ABCD中，CD＝2，若點P滿足PD＝2，且∠BPD＝90°，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）點A到BP的距離是﹣1或+1，理由見解析

【解析】

（1）中易證AD＝AB，EB＝DF，所以只需證明∠ADF＝∠ABE，利用同弧所對的圓周角相等不難得出，從而證明全等；

（2）中易證△AEF是等腰直角三角形，所以AF＝AE，因為AM⊥BE，所以FM＝ME＝AM，EF＝2AM，EF＝BEBF＝BEDE，得出結論；

（3）由PD＝2可得：點P在以點D為圓心，2為半徑的圓上；由∠BPD＝90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然后，添加適當的輔助線，借助（2）中結論，即可解決問題．

（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝AD，

∠ABE與∠ADE都對應弧AE，

∴∠ABE＝∠ADE，

在△ADF和△ABE中，

，

∴△ADF≌△ABE（SAS）；

（2）證明：在BE上取點F，使BF＝DE，連接AF，

由（1）△ADE≌△ABF，

∴BF＝DE，AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，

在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，

∴∠BAF+∠DAF＝90°，

∴∠DAE+∠DAF＝90°，

∴∠EAF＝90°，

∴△EAF是等腰直角三角形三角形，

∵AM⊥BE，

∴FM＝ME＝AM，

∴EF＝2AM，

∵EF＝BE﹣BF＝BE﹣DE，

∴BE﹣DE＝2AM；

（3）點A到BP的距離是﹣1或+1，

理由如下：

∵PD＝2，

∴點P在以點D為圓心，2為半徑的圓上，

∵∠BPD＝90°，

∴點P在以BD為直徑的圓上，

∴點P是這兩圓的交點，

①當點P在如圖3①所示位置時，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝45°．AB＝AD＝DC＝BC＝2，∠BAD＝90°，

∴BD＝4．

∵DP＝2，

∴BP＝2，

∵∠BPD＝∠BAD＝90°，

∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，

∴∠APB＝∠ADB＝45°，

∴△PAE是等腰直角三角形，

又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，

∴由（2）中的結論可得：BP＝2AH+PD，

2＝2AH+2，

∴AH＝﹣1；

②當點P在如圖3②所示位置時，

連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，

過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②，

同理可得：BP＝2AH﹣PD，

2＝2AH﹣2，

∴AH＝+1，

綜上所述：點A到BP的距離為﹣1或+1．