Question

【題目】如圖，在矩形 ABCD 中，AB＝6cm，AD＝8cm，直線 EF 從點 A 出發沿 AD 方向勻速運動，速度是 2cm/s，運動過程中始終保持 EF∥AC．F 交

AD 于 E，交 DC 于點 F；同時，點 P 從點 C 出發沿 CB 方向勻速運動，速度是 1cm/s，連接 PE、PF，設運動時間 t（s）（0＜t＜4）．

（1）當 t＝1 時，求 EF 長；

（2）求 t 為何值時，四邊形 EPCD 為矩形；

（3）設△PEF 的面積為 S（cm2），求出面積 S 關于時間 t 的表達式；

（4）在運動過程中，是否存在某一時刻使 S△PC F：S 矩形 ABCD＝3：16？若存在， 求出 t 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）EF＝；（2）當 t＝ 時，四邊形 EPCD 為矩形；（3）S＝﹣t2+9t（0＜t＜4）；（4）存在，當 t＝2 時，S△PCF：S 矩形 ABCD＝3：16．

【解析】

（1）由勾股定理知AC=10，由題意得AE=2，DE=6，根據EF∥AC知△DEF∽△DAC，據此得代入計算;

（2）由DE∥CP且∠D=∠C知DE=CP時，四邊形EPCD為矩形，據此求解

（3）證△DEF∽△DAC得,據此求得,根據S=S梯形DEPC-S△DEF-S△PCF可得函數解析式；

（4）由S矩形ABCD=AB×AD=48，且S△PCF：S矩形ABCD=3：16知S△PCF=9，再根據可得關于t的方程，解之可得．

解：（1）∵AB＝6cm，AD＝8cm，

∴AC＝10cm，

當 t＝1 時，AE＝2， 則 DE＝6，

∵EF∥AC，

∴△DEF∽△DAC，

∴，即

解得：

（2）由題意知 AE＝2t，CP＝t， 則 DE＝8﹣2t，

∵四邊形 EPCD 是矩形，

∴DE＝CP，即 8﹣2t＝t， 解得 t＝ ，

故當 t＝時，四邊形 EPCD 為矩形；

（3）∵EF∥AC，

∴△DEF∽△DAC，

，即

解得：

則 CF＝CDDF＝6﹣（6﹣t）＝t，

則 S＝S 梯形 DEPC﹣S△DEF﹣S△PCF

＝×（8﹣2t+t）×6﹣ ×（8﹣2t）×（6﹣t）﹣×t×t

＝﹣t2+9t，

即 S＝﹣t2+9t（0＜t＜4）；

（4）存在，

∵S 矩形 ABCD＝AB×AD＝48，且 S△PCF：S 矩形 ABCD＝3：16，

∴S△PCF＝9，

又∵S△PCF＝×t×t＝t2，

∴t2＝9，

解得：t＝2或 t＝﹣2（舍），

∴當 t＝2時，S△PCF：S 矩形 ABCD＝3：16．