Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A(1，2)，B(3，2)，連接AB. 若對于平面內一點P，線段AB上都存在點Q，使得PQ≤1，則稱點P是線段AB的“臨近點”．

(1)在點C(0，2)，D(2，)，E(4，1)中，線段AB的“臨近點”是__________；

(2)若點M(m，n)在直線上，且是線段AB的“臨近點”，求m的取值范圍；

(3)若直線上存在線段AB的“臨近點”，求b的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)C、D ；(2)0≤m≤；(3).

【解析】

（1）根據線段AB的“臨近點”的定義解答即可；

(2)設與y軸交于M，與A2B2交于N，求出M的坐標和N的坐標，即可得出m的取值范圍．

(3)分別求出直線與半圓A相切、半圓B相切時b的值，即可得到結論．

(1)∵A(1，2)，C(0，2)，∴AC=1．

∵A(1，2)在線段AB上，∴點C是線段AB的“臨近點”；

∵點離線段AB上（2,2）點最近，2-=＜1，∴點D是線段AB的“臨近點”；

∵E(4，1)與線段AB上點B的距離最近，EB=＞1，∴點E不是線段AB的“臨近點”．

故線段AB的“臨近點”是C、D ．

(2)如圖，設與y軸交于M，與A2B2交于N，易知M(0，2)，∴m≥0，易知N的縱坐標為1，代入，可求橫坐標為，∴m≤，∴0≤m≤．

(3)如圖2，設直線為l，令y=0，得：x=b．當直線與半圓A相切時，過A作AF⊥直線l于F，作AH⊥x軸于H，交直線l于點R，則∠FAR=∠RGH=30°．

∵A(1，2)，∴OH=1，AH=2．

∵AF=1，∠FAR=30°，∴AR=，∴RH=AH-AR=2-．

在Rt△RHG中，∵∠RGH=30°，∴HG=RH．

∵HG=OG-OH=，∴=，解得：；

當直線與半圓B相切時，類似可求：；

∴．