Question

【題目】如圖，已知正方形OEFG的頂點O與正方形ABCD的中心O重合，若正方形OEFG繞O點旋轉．

（1）探究：在旋轉的過程中線段BE與線段CG有什么數量關系及位置關系？證明你的結論；

（2）若正方形ABCD的邊長為a，探究：在旋轉過程中四邊形OMCN的面積是否發生變化？若不變化求其面積，若變化指出變化過程．

Answer 1

【答案】(1)BE＝CG，BE⊥CG，理由見解析；(2)不發生變化，a2.

【解析】

(1)連接OB、OC，延長GC交BE于T點，交OE于H點，根據四邊形ABCD、EFGO是正方形，可以得到OG=OE，OB=OC，∠EOB=∠GOC，則△OBE≌△OCG，得到BE＝CG，利用對頂角和等量代換可得到∠THE=90°，即BE⊥CG；

(2)利用ASA定理證明△OBM≌△OCN，得到S△OCN=S△OBM，則四邊形OMCN和面積等于△BOC的面積，則無論怎么旋轉OMCN的面積都是不變的.

解：（1）BE＝CG，BE⊥CG，理由如下：

連接OB、OC，延長GC交BE于T點，交OE于H點，

∵O是正方形的中心，∴OB＝OC．

∵∠BOE+∠MOC＝90°，∠COG+∠MOC＝90°，

∴∠BOE＝∠COG．

又OE＝OG，

∴△OBE≌△OCG（SAS）．

∴BE＝CG，∠BEO＝∠CGO．

∵∠OHG+∠CGO＝90°，∠OHG＝∠EHT，

∴∠EHT+∠BEO＝90°，即∠HTE＝90°，

所以GC⊥BE．

（2）在旋轉過程中四邊形OMCN的面積不發生變化，理由如下：

在△OBM和△OCN中

∴△OBM≌△OCN（ASA）

∴四邊形OMCN的面積＝△OMC面積+△OCN面積＝△OMC面積+△OBM面積＝△OBC面積．

∵△OBC面積＝a2．

所以在旋轉過程中四邊形OMCN的面積不發生變化．

故答案為：(1)BE＝CG，BE⊥CG，理由見解析；(2)不發生變化，a2.