Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，AC，BD是對角線，將△DCB繞著點D順時針旋轉45°得到△DGH，HG交AB于點E，連接DE交AC于點F，連接FG．則下列結論：

①四邊形AEGF是菱形；②△HED的面積是1﹣；③∠AFG=112.5°；④BC+FG=．其中正確的結論是（　　）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，

∵△DHG是由△DBC旋轉得到，

∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，

在Rt△ADE和Rt△GDE中，DE=DE，DA=DG，

∴△AED≌△GED，

∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，

∴∠AED=∠AFE=67.5°，

∴AE=AF，同理EG=GF，

∴AE=EG=GF=FA，

∴四邊形AEGF是菱形，①正確，

∴∠AFG=67.5°×2=135°，③錯誤．

根據題意可求得BD=，BG=BD-DG=BD-CD=-1，

在等腰直角三角形EGB中，可求得BE=2-，即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1，

所以AH=AE=-1，即可得△HED的面積是 ,②正確；

由（1）的證明過程可得GF=FA，∠CFD=∠CDF=67.5°，所以CD=CF，即可得AC=CF+AF=CD+FG=，④正確．

綜上，正確的結論為①②④．

故選B.