Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，點A、B分別在x、y軸上，點B的坐標為（0，1），∠BAO＝30°，以AB為一邊作等邊△ABE，作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點D．

（1）寫出點E的縱坐標．

（2）求證：BD＝OE；

（3）如圖2，連接DE交AB于F．求證：F為DE的中點．

Answer 1

【答案】（1）點E的縱坐標為2；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）直接運用直角三角形30°角的性質和等邊三角形的性質可得∠OAE＝90°，AE＝2；

（2）連接OD，易證△ADO為等邊三角形，再證△ABD≌△AEO即可．

（3）作EH⊥AB于H，先證△ABO≌△AEH，得AO＝EH，再證△AFD≌△HFE即可．

（1）解：∵點B的坐標為（0，1），

∴OB＝1，

∵∠BAO＝30°，

Rt△ABO中，AB＝2OB＝2，

∵△ABE是等邊三角形，

∴∠BAE＝60°，AE＝AB＝2，

∴∠OAE＝30°+60°＝90°，

∴點E的縱坐標為2；

故答案為：2；

（2）證明：連接OD，如圖1，

∵△ABE是等邊三角形，

∴AB＝BE，∠EAB＝60°，

∵DA⊥BA，

∴∠DAB＝90°，

∵∠BAO＝30°，

∴∠DAO＝90°﹣30°＝60°，

∴∠OAE＝∠DAB，

∵MN垂直平分OA，

∴OD＝DA，

∴△AOD是等邊三角形，

∴DA＝OA，

在△ABD和△AEO中，

∵，

∴△ABD≌△AEO（SAS），

∴BD＝OE；

（3）證明：如圖2，作EH⊥AB于H，

∴∠EHA＝∠DAF＝90°，

∵AE＝BE，

∴AH＝AB，

∵∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，

∴OB＝AB，

∴AH＝BO，

∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），

∴EH＝AO＝AD，

∵∠EHF＝∠DAF＝90°，∠EFH＝∠DFA，

∴△HFE≌△AFD（AAS），

∴EF＝DF，

∴F為DE的中點．