Question

【題目】已知四邊形ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上（P，G不與正方形頂點重合，且在CD的同側），PD=PG，DF⊥PG于點H，交直線AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連結EF．

（1）如圖1，當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時．

①求證：DF=PG；

②若AB=3，PC=1，求四邊形PEFD 的面積；

（2）如圖2，當點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，請猜想四邊形PEFD 是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②8；（2）（2）四邊形PEFD是菱形，證明詳見解析

【解析】

（1）①根據四邊形ABCD為正方形得AD=CD ，然后證明△ADF≌△CDP，則DF=DP，得到DF=PG；

②先判斷四邊形PEFD是菱形，然后求出PG=DP=，過點P作PM⊥AD于點M，則四邊形CDMP是矩形，則△DHG∽△PMG，根據相似三角形的性質，即可求出答案；

（2）根據四邊形ABCD為正方形得AD=AB，由四邊形ABPM為矩形得AB=PM，則AD=PM，再利用等角的余角相等得到∠GDH=∠MPG，于是可根據“ASA”證明△ADF≌△MPG，得到DF=PG，加上PD=PG，得到DF=PD，然后利用旋轉的性質得∠EPG=90°，PE=PG，所以PE=PD=DF，再利用DF⊥PG得到DF∥PE，于是可判斷四邊形PEFD為平行四邊形，加上DF=PD，則可判斷四邊形PEFD為菱形．

解：（1）①證明 ∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD ，∠A= ∠C=∠ADC=90°，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG=90°，

∴∠HGD+∠ADF=90°，∠CDP+∠PDG=90°，

∵ PD=PG ，

∴∠PGD=∠PDG，

∴∠ADF=∠CDP，

∴△ADF≌△CDP（ASA），

∴DF=DP，

∵ PD=PG，

∴DF=PG；

②∵線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE

∴∠GPE=∠DHG=90°， PG=PE=DF= PD

∴PE∥DF

∴四邊形PEFD是菱形

在Rt△DCP中，AD=AB=3，PC=1，PG=DP=

過點P作PM⊥AD于點M，則四邊形CDMP是矩形

∴DM=MG=PC=1，DG=2DM=2，

∠PMG=∠DHG=90°，∠DGH=∠PGM

∴△DHG∽△PMG

∴ 即

∴GH=， PH=PG-GH=

由（1）DF=DP=

∴四邊形PEFD的面積是=×=8 ；

（2）四邊形PEFD是菱形 ；

作PM⊥DG于M，如圖2，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，

∵四邊形ABPM為矩形，

∴AB=PM，

∴AD=PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG=90°，

∴∠GDH+∠DGH=90°，

∵∠MGP+∠MPG=90°，

∴∠GDH=∠MPG，

在△ADF和△MPG中

，

∴△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF=PG，而PD=PG，

∴DF=PD，

∵線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，

∴∠EPG=90°，PE=PG，

∴PE=PD=DF而DF⊥PG，

∴DF∥PE，且DF =PE，

∴四邊形PEFD為平行四邊形，

∵DF=PD，

∴四邊形PEFD為菱形．