Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+c（a≠0）經過C（2，0），D（0，﹣1）兩點，并與直線y=kx交于A、B兩點，直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，過A、B兩點分別作直線l的垂線，垂足分別為點M、N．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）求證：AO=AM；

（3）探究：

①當k=0時，直線y=kx與x軸重合，求出此時的值；

②試說明無論k取何值，的值都等于同一個常數．

Answer 1

【答案】解：（1）y=x2﹣1

（2）詳見解析

（3）詳見解析

【解析】

（1）把點C、D的坐標代入拋物線解析式求出a、c，即可得解。

（2）根據拋物線解析式設出點A的坐標，然后求出AO、AM的長，即可得證。

（3）①k=0時，求出AM、BN的長，然后代入計算即可得解；

②設點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出，再聯立拋物線與直線解析式，消掉未知數y得到關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系表示出x1+x2，x12，并求出x12+x22，x12x22，然后代入進行計算即可得解。

解：（1）∵拋物線y=ax2+c（a≠0）經過C（2，0），D（0，﹣1），

∴，解得。

∴拋物線的解析式為y=x2﹣1。

（2）證明：設點A的坐標為（m，m2﹣1），

則。

∵直線l過點E（0，﹣2）且平行于x軸，∴點M的縱坐標為﹣2。

∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1。

∴AO=AM。

（3）①k=0時，直線y=kx與x軸重合，點A、B在x軸上，

∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，

∴。

②k取任何值時，設點A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），

則。

聯立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，

由根與系數的關系得，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16k2+8，x12x22=16。

∴。

∴無論k取何值，的值都等于同一個常數1。