Question

【題目】如圖，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c＞0），以A為圓心AB長為半徑的交y軸正半軸于點D，與BC有交點時，交點為E，P為上一點．

（1）若c＝6+2，

①BC＝　 　，的長為　 　；

②當CP＝6時，判斷CP與⊙A的位置關系，井加以證明；

（2）若c＝10，求點P與BC距離的最大值；

（3）分別直接寫出當c＝1，c＝6，c＝9，c＝11時，點P與BC的最大距離（結果無需化簡）

Answer 1

【答案】（1）①12，π；②詳見解析；（2）①；②（3）答案見詳解

【解析】

（1）①先求出AB，AC，進而求出BC和∠ABC，最后用弧長公式即可得出結論；②判斷出△APC是直角三角形，即可得出結論；

（2）分兩種情況，利用三角形的面積或銳角三角函數即可得出結論；

（3）畫圖圖形，同（2）的方法即可得出結論．

（1）①如圖1，

∵c＝6+2，

∴OC＝6+2，

∴AC＝6+2﹣2＝6，

∵AB＝6，

在Rt△BAC中，根據勾股定理得，BC＝12，tan∠ABC＝＝，

∴∠ABC＝60°，

∵AE＝AB，

∴△ABE是等邊三角形，

∴∠BAE＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∴的長為＝π，

故答案為：12，π；

②CP與⊙A相切．

證明：∵AP＝AB＝6，AC＝OC﹣OA＝6，

∴AP2+CP2＝108，

又AC2＝（6）2＝108，

∴AP2+PC2＝AC2．

∴∠APC＝90°，即：CP⊥AP．

而AP是半徑，

∴CP與⊙A相切．

（2）若c＝10，即AC＝10﹣2＝8，則BC＝10．

①若點P在上，AP⊥BE時，點P與BC的距離最大，設垂足為F，

則PF的長就是最大距離，如圖2，

S△ABC＝AB×AC＝BC×AF，

∴AF＝＝，

∴PF＝AP﹣AF＝；

②如圖3，若點P在上，作PG⊥BC于點G，

當點P與點D重合時，PG最大．

此時，sin∠ACB＝，

即PG＝＝

∴若c＝10，點P與BC距離的最大值是；

（3）當c＝1時，如圖4，

過點P作PM⊥BC，sin∠BCP＝

∴PM＝=；

當c＝6時，如圖5，同c＝10的①情況，PF＝6﹣=，

當c＝9時，如圖6，同c＝10的①情況，PF＝ ，

當c＝11時，如圖7，

點P和點D重合時，點P到BC的距離最大，同c＝10時②情況，DG＝ ．