Question

【題目】如圖1，已知AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過O點作OF⊥AB交⊙O于點D，交AC于點E，交BC的延長線于點F，點G是EF的中點，連接CG

(1)判斷CG與⊙O的位置關系，并說明理由；

(2)求證：2OB2＝BCBF；

(3)如圖2，當∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）CG與⊙O相切，理由見解析；（2）見解析；（3）DE＝2

【解析】

（1）連接CE，由AB是直徑知△ECF是直角三角形，結合G為EF中點知∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，再由OA＝OC知∠OCA＝∠OAC，根據OF⊥AB可得∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，據此即可得證；

（2）證△ABC∽△FBO得，結合AB＝2BO即可得；

（3）證ECD∽△EGC得，根據CE＝3，DG＝2.5知，解之可得．

解：（1）CG與⊙O相切，理由如下：

如圖1，連接CE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝∠ACF＝90°，

∵點G是EF的中點，

∴GF＝GE＝GC，

∴∠AEO＝∠GEC＝∠GCE，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵OF⊥AB，

∴∠OAC+∠AEO＝90°，

∴∠OCA+∠GCE＝90°，即OC⊥GC，

∴CG與⊙O相切；

（2）∵∠AOE＝∠FCE＝90°，∠AEO＝∠FEC，

∴∠OAE＝∠F，

又∵∠B＝∠B，

∴△ABC∽△FBO，

∴，即BOAB＝BCBF，

∵AB＝2BO，

∴2OB2＝BCBF；

（3）由（1）知GC＝GE＝GF，

∴∠F＝∠GCF，

∴∠EGC＝2∠F，

又∵∠DCE＝2∠F，

∴∠EGC＝∠DCE，

∵∠DEC＝∠CEG，

∴△ECD∽△EGC，

∴，

∵CE＝3，DG＝2.5，

∴，

整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，

解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），

故DE＝2．