Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點，以D為頂點作一個120°的角，角的兩邊分別交直線AB，AC于M，N兩點，以點D為中心旋轉∠MDN(∠MDN的度數不變)，若DM與AB垂直時(如圖①所示)，易證BM +CN =BD.

（1）如圖②，若DM與AB不垂直時，點M在邊AB上，點N在邊AC上，上述結論是否成立?若成立，請給予證明;若不成立，請說明理由；

（2）如圖③，若DM與AB不垂直時，點M在邊AB.上，點N在邊AC的延長線上，上述結論是否成立?若不成立，請寫出BM，CN，BD之間的數量關系，不用證明.

Answer 1

【答案】（1）成立，見解析；（2）圖③的結論不成立.圖③的結論為BM-CN = BD.

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質，及過D作DE平行AC交AB于E點，構造△DME與△DNC全等，利用全等三角形的對應邊相等及線段的和差關系給予證明.（2）利用同（1）的方法構造全等，根據和差關系得出的結論為BM-CN = BD.

(1)證明:圖②的結論成立，為BM +CN = BD.理由如下：

如圖，過點D作DE//AC交AB于點E.

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°.

∵DE//AC，

∴∠BED=∠BDE =∠A=∠C=∠B= 60°，

∴△BDE是等邊三角形，

∴∠EDC = 120°.

∴∠EDN +∠NDC= 120°.

∵∠MDN= 120°，

∴∠EDN十∠MDE = 120°，

∴∠NDC=∠MDE.

∵D是BC的中點，

∴BD = DC，

∴BD=DE = DC.

∵∠BED=∠C =60°

∴△DME≌△DNC.

∴ME = NC，

∴BM十ME= BE，

∴BM十CN= BD.

(2)解:圖③的結論不成立.正確結論為BM-CN = BD.理由如下：

如圖，過點D作DF//AC交AB于點F.

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠ACB=60°,

∴DF//AC，

∴∠BFD=∠BDF=∠A=∠ACB =∠B = 60°.,

∴△BDF是等邊三角形，

∴∠FDC =∠MFD=∠DCN=120°，

∴∠FDM +∠MDC= 120°.

∵∠MDN= 120°，

∴∠MDC十∠NDC = 120°,

∴∠NDC=∠FDM.

∵D是BC的中點，

∴BD = DC,

∴BD=DF = DC.

∵∠MFD=∠DCN=120°,

∴△DMF≌△DNC,

∴MF = NC,

∴BM-MF =BF ,

∴BM-CN =BD .