Question

【題目】已知拋物線：y＝x2+bx+c

（1）若拋物線過點（2，﹣3），（4，5），求b、c．

（2）若拋物線過（﹣1，m2﹣m），（2，m2+2m），且﹣5≤m≤﹣3，求在m的變化過程中，拋物線最低點的坐標．

（3）直線y＝2x+n與拋物線y＝x2+bx+c交于A（﹣5，yA），B（﹣3，yB），把y＝x2+bx+c向右平移t個單位（t＞0）后交直線y＝2x+n于C、D兩點，若CD＝2AB，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，3）；（3）t．

【解析】

（1）將點（2，﹣3），（4，5）代入二次函數表達式，即可求解；

（2）同理可得：y＝x2+（m﹣1）x+（m2﹣2），函數的對稱軸為：x，函數在頂點處取得最小值，則頂點的坐標為（，），即可求解；

（3）將直線y＝2x+n與拋物線y＝x2+bx+c聯立并整理得：x2+（b﹣2）x+（c﹣n）＝0，求出b＝10，c﹣n＝15；同理：由x2+（b﹣2）x+（c﹣2t﹣n）＝0，即x2+8x+（15﹣2t）＝0，

則x1+x2＝﹣8，x1x2＝15﹣2t，CD＝2AB，x2﹣x1＝2×（﹣3+5）＝4，即可求解．

解：（1）將點（2，﹣3），（4，5）代入二次函數表達式得：，解得：，

故函數的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）將（﹣1，m2﹣m），（2，m2+2m）代入二次函數表達式，

同理可得：y＝x2+（m﹣1）x+（m2﹣2），函數的對稱軸為：x，

函數在頂點處取得最小值，則頂點的坐標為（，），

當﹣5≤m≤﹣3時，

設S，該函數的對稱軸為m，

故函數S在m＝﹣3時取得最小值，即m＝﹣3，

則最低點即函數頂點坐標為（2，3）；

（3）將直線y＝2x+n與拋物線y＝x2+bx+c聯立并整理得：

x2+（b﹣2）x+（c﹣n）＝0，

由韋達定理得：（﹣3）+（﹣5）＝2﹣b，（﹣3）（﹣5）＝c﹣n，

解得：b＝10，c﹣n＝15；

將直線向左平移t個單位后于拋物線交點的情況和題設中平移的方式交點情況應該相同，

即設拋物線不動、直線向左平移t個單位交點于點C′、D′和上述平移的C、D交點情況相同，

直線向左平移t個單位后的表達式為：y＝2（x+t）+n…②，

聯立①②并整理得：x2+（b﹣2）x+（c﹣2t﹣n）＝0，即x2+8x+（15﹣2t）＝0，

則x1+x2＝﹣8，x1x2＝15﹣2t，

∵CD＝2AB，∴x2﹣x1＝2×（﹣3+5）＝4，

解得：t．