Question

【題目】如圖，拋物線 y ax2 2a（x a＜0）位于 x 軸上方的圖象記為F1，它與 x 軸交于 P1、O 兩點，圖象 F2與F1關于原點 O 對稱， F2 與 x 軸的另一個交點為 P2 ， F1 將與 F2 同時沿 x 軸向右平移 P1 P2 的長度即可得到F3與F4 ；再將 F3與F4 同時沿 x 軸向右平移 P1 P2 的長度即可得到 F5與F6 ；…；按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象 F1，F2，，Fn ．我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”．

（1）當 a=﹣1 時，

①求 F1 圖象的頂點坐標；

②點 H（2014，﹣3） （填“在”或“不在”）該“波浪拋物線”上；若圖象 F n的頂點 T n的橫坐標為201，則圖象 F n對應的解析式為 ， 其自變量 x 的取值范圍為 .

（2）設圖象 Fn、Fn+1 的頂點分別為 Tn、Tn+1 （n 為正整數），x 軸上一點 Q 的坐標為（12，0）．試探究： 當 a 為何值時，以 O、 Tn、Tn+1 、Q 四點為頂點的四邊形為矩形？并直接寫出此時 n 的值．

Answer 1

【答案】（1）①（﹣1，1）；②不在， y =（x﹣201）2﹣1 ，200≤x≤202；（2）a=﹣，故此時 n 的值為 4．

【解析】

（1）①a=-1代入拋物線的解析式，然后令y=可求得對應的x的值，從而可得到p1的坐標，然后依據平移的方向和距離可得到點P2的坐標，接下來，利用配方法可求得拋物線的頂點F1的坐標②根據該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和-1即可得出結論；

（2）設OQ中點為O′，則線段TnTn+1經過O′，再根據圖形平移的性質即可得出結論．

（1）①當a=-1時，y=ax2+2ax=-x2-2x．

令-x2-2x=0，解得：x=0或x=-2．

∴點P1的坐標為（-2，0）．

由平移的性質可知P2的坐標為（2，0）．

∵y=-x2-2x=（x+1）2+1，

∴圖象F1的頂點坐標為：（-1，1）；

②∵該“波浪拋物線”頂點坐標縱坐標分別為1和-1，

∴點H（2015，-2），不在該“波浪拋物線”上，

∵圖象Fn的頂點Tn的橫坐標為201，

201÷4=50…1，故其圖象與F2，F4…形狀相同，

則圖象Fn對應的解析式為：y=（x-201）2-1，

其自變量x的取值范圍為：200≤x≤202．

（2）設OQ中點為O′，則線段TnTn+1經過O′，

由題意可知OO′=O′Q，O′Tn=O′Tn+1，

∴當TnTn+1=OQ=12時，四邊形OTnTn+1Q為矩形，

∴O′Tn+1=6，

∵F1對應的解析式為y=a（x+1）2-a，

∴F1的頂點坐標為（-1，-a），

∴由平移的性質可知，點Tn+1的縱坐標為-a，

∴由勾股定理得（-a）2+（-1）2=62，

∴a=±，

∵a＜0，

∴a=﹣ ，故此時 n 的值為 4．