Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線y=+bx﹣4經過A（﹣4，0），C（2，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S．求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值；

（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y=﹣x上的動點，點B是拋物線與y軸交點．判斷有幾個位置能夠使以點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】(1)y=+x﹣4；(2) S=﹣4m；m=﹣2時S有最大值S=4；(3)（﹣4，4）或（，）或（，）.

【解析】

試題分析：（1）設拋物線解析式為y=+bx+c，然后把點A、B、C的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解即可；

（2）根據圖形的割補法，可得二次函數，根據拋物線的性質求出第三象限內二次函數的最值，然后即可得解；

（3）利用直線與拋物線的解析式表示出點P、Q的坐標，然后求出PQ的長度，再根據平行四邊形的對邊相等列出算式，然后解關于x的一元二次方程即可得解．

試題解析：（1）將A（﹣4，0），C（2，0）兩點代入函數解析式，得

，

解得，

所以此函數解析式為：y=+x﹣4；

（2）∵M點的橫坐標為m，且點M在這條拋物線上，

∴M點的坐標為：（m，+m﹣4），

∴=×4×（+m﹣4）+×4×（﹣m）﹣×4×4=﹣4m=，

∵﹣4＜m＜0，

當m=﹣2時，S有最大值為：S=﹣4+8=4，

答：S關于 m的函數關系式為S=﹣4m；m=﹣2時S有最大值S=4；

（3）∵點Q是直線y=﹣x上的動點，

∴設點Q的坐標為（a，﹣a），

∵點P在拋物線上，且PQ∥y軸，

∴點P的坐標為（a，+a﹣4），

∴PQ=﹣a﹣（+a﹣4）=﹣2a+4，

又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴|PQ|=OB，

即|﹣2a+4|=4，

①﹣2a+4=4時，整理得，+4a=0，

解得a=0（舍去）或a=﹣4，

﹣a=4，

所以點Q坐標為（﹣4，4），

②﹣2a+4=﹣4時，整理得，+4a﹣16=0，

解得a=，

所以點Q的坐標為（，）或（，）．

綜上所述，Q坐標為（﹣4，4）或（，）或（，）時，使點P，Q，B，O為頂點的四邊形是平行四邊形．