Question

【題目】如圖，（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在線段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點F，交BC的延長線于點N, FN⊥BC.

（1）若點E是BC的中點（如圖1），AE與EF相等嗎？

（2）點E在BC間運動時（如圖2），設BE=x，△ECF的面積為y。

①求y與x的函數關系式；

②當x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值.

Answer 1

【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-x2+2x（0＜x＜4)，②當x=2,y最大值=2.

【解析】

（1）在AB上取一點G，使AG=EC，連接GE，利用ASA，易證得：△AGE≌△ECF，則可證得：AE=EF；

（2）同（1）可證明AE=EF，利用AAS證明△ABE≌△ENF，根據全等三角形對應邊相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面積公式即可列式表示出△ECF的面積為y，然后整理再根據二次函數求解最值問題．

（1）如圖，在AB上取AG=EC，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

有∵AG=EC ，∴BG=BE ，

又∵∠B=90°，

∴∠AGE=135°，

又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，

∴∠ECF=135°，

∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

在△AGE和△ECF中，

,

∴△AGE≌△ECF，

∴AE=EF；

(2)①∵由（1）證明可知當E不是中點時同理可證AE=EF，

∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，

∴△ABE≌△ENF，

∴FN=BE=x，

∴S△ECF= (BC-BE)·FN，

即y= x(4-x），

∴y=- x2+2x（0＜x＜4)，

②，

當x=2，y最大值=2.