Question

【題目】如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結論錯誤的是（ ）

A．△BPQ是等邊三角形

B．△PCQ是直角三角形

C．∠APB=150°

D．∠APC=135°

Answer 1

【答案】D

【解析】

試題分析：根據等邊三角形性質得出∠ABC=60°，根據全等得出∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A，根據勾股定理的逆定理即可判斷B；求出∠BQP=60°，∠PQC=90°，即可判斷C，求出∠APC+∠QPC=150°和PQ≠QC即可判斷D．

∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA，

∴∠BPA=∠BQC，BP=BQ=4，QC=PA=3，∠ABP=∠QBC，

∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴△BPQ是等邊三角形， ∴PQ=BP=4， ∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2，

∴∠PQC=90°，即△PQC是直角三角形， ∵△BPQ是等邊三角形， ∴∠BOQ=∠BQP=60°，

∴∠BPA=∠BQC=60°+90°=150°， ∴∠APC=360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC=150°﹣∠QPC，

∵∠PQC=90°，PQ≠QC， ∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°， ∴選項A、B、C正確，選項D錯誤．