Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,AB=AC,D,E是斜邊上BC上兩點,且∠DAE=45°,將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：

①BF⊥BC;②△AED≌△AEF;③BE+DC=DE;④BE+DC=DE

其中正確的個數是( )

A.1B.2C.0D.3

Answer 1

【答案】D

【解析】

①根據旋轉的性質得BF=DC、∠FBA=∠C、∠BAF=∠CAD，由∠ABC+∠C=90°知∠ABC+∠FBA=90°，即可判斷①；

②由∠BAC=90°、∠DAE=45°知∠BAE+∠CAD=∠DAE=45°，繼而可得∠EAF=∠EAD，可判斷②；

③由BF=DC、EF=DE，根據BE+BF>EF可判斷③；

④根據BE+BF=EF可判斷④．

∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，

∴△ADC≌△AFB，

∴BF=DC，∠FBA=∠C，∠BAF=∠CAD，

又∵∠ABC+∠C=90°，

∴∠ABC+∠FBA=90°,即∠FBC=90°，

∴BF⊥BC，故①正確；

∵∠BAC=90°,∠DAE=45°，

∴∠BAE+∠CAD=∠DAE=45°，

∴∠BAE+∠BAF=∠DAE=45°，即∠EAF=∠EAD，

在△AED和△AEF中，

∵ ，

∴△AED≌△AEF，故②正確；

∵BF=DC，

∴BE+DC=BE+BF，

∵△AED≌△AEF，

∴EF=DE，

在△BEF中，∵BE+BF>EF，

∴BE+DC>DE，故③錯誤，

∵∠FBC=90°，

∴BE+BF=EF，

∵BF=DC、EF=DE，

∴BE+DC=DE，④正確；

故選：D.