Question

【題目】已知：關于x的一元二次方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）．

（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；

（2）設方程的兩個實數根分別為x1，x2（其中x1＞x2）．若y是關于a的函數，且y=ax2x1，求這個函數的表達式；

（3）將（2）中所得的函數的圖象在直線a=2的左側部分沿直線a=2翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象．請你結合這個新的圖象直接寫出：當關于a的函數y=2a+b的圖象與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍是　　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=a﹣3（a＞0）；（3）﹣11＜b＜﹣5

【解析】

（1）根據一元二次方程的根的判別式判斷即可；

（2）先根據一元二次方程的求根公式得出x1，x2，即可得出函數函數關系式；

（3）畫出新函數的圖形和直線y=2a+b，利用圖形和直線與y軸的交點坐標即可得出結論．

（1）證明：∵ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）是關于x的一元二次方程，

∴△=[﹣2（a﹣1）]2﹣4a（a﹣2）=4＞0，

∴方程ax2﹣2（a﹣1）x+a﹣2=0（a＞0）有兩個不相等的實數根．

（2）解：由求根公式，得x=．

∴x=1或x=1﹣．

∵a＞0，x1＞x2，

∴x1=1，x2=1﹣，

∴y=ax2x1=a×（1﹣）﹣1=a﹣3．

即函數的表達式y=a﹣3（a＞0），

（3）解：如圖，直線BD剛好和折線CBA只有一個公共點，再向下平移，就和這些CBA有兩個公共點，

繼續向下平移到直線CE的位置和直線CBA剛好有1個公共點，再向下平移和這些CBA也只有一個公共點，

由（2）知，函數的表達式y=a﹣3（a＞0），

當a=2時，y=2﹣3=﹣1，

∴B（2，﹣1），

由折疊得，C（4，﹣3），

當函數y=2a+b的圖象過點B時，

∴﹣1=2×2+b，

∴b=﹣5，

當函數y=2a+b的圖象過點C時，

∴﹣3=2×4+b，

∴b=﹣11，

∴﹣11＜b＜﹣5．

故答案為：﹣11＜b＜﹣5．