Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標系中，已知一次函數y=x+1的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，以AB為邊在第二象限內作正方形ABCD．

（1）求邊AB的長；

（2）求點C，D的坐標；

（3）在x軸上是否存在點M，使△MDB的周長最小？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）C（﹣1，3），D（﹣3，2）；（3）M（﹣1，0）．

【解析】

試題分析：（1）在直角三角形AOB中，由OA與OB的長，利用勾股定理求出AB的長即可；

（2）過C作y軸垂線，過D作x軸垂線，分別交于點E，F，可得三角形CBE與三角形ADF與三角形AOB全等，利用全等三角形對應邊相等，確定出C與D坐標即可；

（3）作出B關于x軸的對稱點B′，連接B′D，與x軸交于點M，連接BD，BM，此時△MDB周長最小，求出此時M的坐標即可．

解：（1）對于直線y=x+1，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=﹣2，

∴A（﹣2，0），B（0，1），

在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，

根據勾股定理得：AB==；

（2）作CE⊥y軸，DF⊥x軸，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，

∵正方形ABCD，

∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，

∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，

∴△BCE≌△DAF≌ABO，

∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，

∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，

∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；

（3）找出B關于x軸的對稱點B′，連接B′D，與x軸交于點M，此時△BMD周長最小，

∵B（0，1），

∴B′（0，﹣1），

設直線B′D的解析式為y=kx+b，

把B′與D坐標代入得：，

解得：，即直線B′D的解析式為y=﹣x﹣1，

令y=0，得到x=﹣1，即M（﹣1，0）．