Question

【題目】如圖拋物線y＝ax2+ax+c（a≠0）與x軸的交點為A、B（A在B的左邊）且AB＝3，與y軸交于C，若拋物線過點E（﹣1，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸的下方是否存在一點P使得△PBC的面積為3？若存在求出P點的坐標，不存在說明理由；

（3）若D為原點關于A點的對稱點，F點坐標為（0，1.5），將△CEF繞點C旋轉，在旋轉過程中，線段DE與BF是否存在某種關系（數量、位置）？請指出并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）存在，P（3，﹣10）；（3）DE⊥BF且DE＝2BF，證明見解析

【解析】

（1）根據題意得出拋物線的對稱軸為x＝＝，又與x軸的交點為A、B（A在B的左邊）且AB＝3，求出A、B點的坐標，把A、E坐標代入可得a、c的值，繼而求得拋物線的解析式；

（2）因為S△ABC＝3，△PBC的面積是3，說明點P一定在過A平行于BC的直線線，且一定是與拋物線的交點，因此求出過A點平行于BC的直線，與拋物線聯立進一步求得答案；

（3）連接DC、BC，證明△CDE∽△CBF，利用相似三角形的性質和旋轉的性質即可解決問題．

解：（1）因為拋物線（a≠0）的對稱軸是x＝＝，AB＝3，

所以A、B兩點的坐標為（﹣2，0）、（1，0），

又因為E（﹣1，2）在拋物線上，

把點A（﹣2，0）、E（﹣1，2）代入

解得a＝﹣1，c＝2，

所以；

（2）如圖（2）所示，過A作BC的平行線交拋物線于點P（篇幅有限，P點未能顯示在圖中），

令x＝0，則y＝2

故點C坐標是（0，2）,

∵設直線BC的解析式為：y＝kx+b，

B點坐標為：（1，0），C點坐標為；（0，2），

∴，

∴y＝﹣2x+2，

∵A作BC的平行線交拋物線于點P，

∴y＝﹣2x+b，將A（﹣2，0）代入解析式即可得出，

所以過A點的直線為y＝﹣2x﹣4，

∴兩函數的交點坐標為：

由﹣x2﹣x+2＝﹣2x﹣4，

解得x1＝﹣2（舍去），x2＝3，

所以與拋物線的交點P為（3，﹣10）；

（3）如圖（3）所示，連接DC、BC，

由題意可知：點D（﹣4，0），F（0，1.5），

∴DC＝＝，

BC＝，

CE＝，

CF＝，

EF＝

得，

又∵夾角∠DCE＝∠BCF，

∴△CDE∽△CBF，而∠ECF＝90°，

∴，CE⊥CF，

∴DE⊥BF且DE＝2BF．