Question

【題目】如圖，在⊙O中，M是弦AB的中點，過點B作⊙O的切線，與OM延長線交于點C．

（1）求證：∠A=∠C；

（2）若OA=5，AB=8，求線段OC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）連接OB，由OA=OB，可知∠A=∠OBM，又M是AB中點，利用等腰三角形三線合一定理可知OC⊥AB，即可得∠C+∠CBM=90°，而BC是切線可得∠OBM+∠CBM=90°，即∠A+∠CBM=90°，利用等角的余角相等可得∠A=∠C；

（2）由（1）得∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，易證△OMB∽△OBC，即可得OB：OC=OM：OB，而BM=AB=4，根據勾股定理可求OM，進而即可求出OC的長．

（1）證明：連接OB，

∵BC是切線，

∴∠OBC=90°，

∴∠OBM+∠CBM=90°，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBM，

∵M是AB的中點，

∴OM⊥AB．

∴∠C+∠CBM=90°，

∴∠C=∠OBM，

∴∠A=∠C；

（2）∵∠C=∠OBM，∠OBC=∠OMB=90°，

∴△OMB∽△OBC，

∴=，

又∵BM=AB=4，

∴OM=52-42=3，

∴OC==．