Question

【題目】閱讀理解：對于任意正實數a,b，

，

∴，

∴a+b≥2，當且僅當a=b時，等號成立．

結論：在a+b≥2（a,b均為正實數）中，若ab為定值p，則，

當且僅當a=b，a+b有最小值．

根據上述內容，回答下列問題：

（1）若x＞0，只有當x= 時，有最小值 ．

（2）探索應用：如圖，已知A(-2,0)，B(0,-3)，點P為雙曲線上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

（3）已知x＞0，則自變量x為何值時，函數取到最大值，最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）32，12；（2）12，菱形；（3）5，.

【解析】

試題分析：此題屬于反比例函數綜合題．考查了反比例函數的性質、菱形的判定以及閱讀應用問題．注意準確理解a+b≥2，當且僅當a=b時，等號成立是關鍵．

（1）直接利用a+b≥2，當且僅當a=b時，等號成立；求解即可求得答案；

（2）首先設P（x，），則C（x，0），D（0，），可得S四邊形ABCD=ACBD=（x+2）（+3），然后利用a+b≥2，當且僅當a=b時，等號成立求解即可求得答案；

（3）首先設y′==x-2+，當x=時y′最小，進而得出x的值以及y的值．

試題解析：（1）∵4x+9x≥2×4x×9x=12，當且僅當4x=9x時，等號成立，

∵x＞0，

∴x=32，

∴若x＞0，只有當x=32時，4x+9x有最小值為12；

故答案為32，12；

（2）設P（x，6x），則C（x，0），D（0，6x），

∴BD=6x+3，AC=x+2，

∴S四邊形ABCD=ACBD=（x+2）（+3）=6+x+6x≥6+2=12，

當且僅當x=，即x=2時，四邊形ABCD面積的最小值為12，

∴OB=OD=3，OA=OC=2，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AC⊥BD，

∴四邊形ABCD是菱形；

（3）設y′=＝x-2+，

當x=時y′最小，

∴當x=5時，y′最小=8，

∴當x=5時，y最大=．