Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于點A，B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C．

（1）求A，B兩點的坐標．

（2）點P是線段BC下方的拋物線上的動點，連結PC，PB．

①是否存在一點P，使△PBC的面積最大，若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由．

②連結AC，AP，AP交BC于點F，當∠CAP＝∠ABC時，求直線AP的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）A、B的坐標分別為（﹣1，0）、（4，0）；（2）①存在，見解析，面積的最大值為4，②.

【解析】

（1）令y=0，則x=1或-4，令x=0，則y=2，即可求解；

（2）①S△PBC=×PH×OB，即可求解；

②證明△ACF∽△BCA，求得：CF=，BF=BC-CF=，由BF2=（m-4）2+（m-2）2=（）2，即可求解．

（1）令y＝0，則x＝1或﹣4，令x＝0，則y＝2，

即點A、B、C的坐標分別為（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣2）；

（2）①存在，理由：過點P作HP∥y軸交BC于點H，

將點B、C的坐標代入一次函數表達式y＝kx+b得：，解得：，

故直線BC的表達式為：y＝x﹣2，

設點P坐標為（x，）、H（x，x﹣2），

S△PBC＝×PH×OB＝×（x﹣2）×4＝﹣x2+4x，

∵﹣1＜0，故S△PBC有最大值，

當x＝2時，面積的最大值為4，此時點P（2，﹣3）；

②∠CAP＝∠ABC，∠ACF＝∠ACF，∴△ACF∽△BCA，

∴AC2＝BCCF，其中AC＝，BC＝2，

故：CF＝，BF＝BC﹣CF＝，

設點F的坐標為（m，m﹣2），

則：BF2＝（m﹣4）2+（m﹣2）2＝（）2，

解得：m＝1或7（舍去m＝7），

故點F坐標（1，﹣），

將點A、F坐標代入一次函數表達式y＝kx+b，

同理可得：直線AF（或直線AP）的表達式為：y＝﹣x﹣．