Question

【題目】如圖1，，都是等腰直角三角形，，，，且，點在上，連接，．

　　　　　

（1）如果；

①求的值；

②若，是關于的方程的兩根，求；

（2）如圖2，將繞點逆時針旋轉．

①在上方，與、、同一平面內找一點，使四邊形的面積四邊形與四邊形的面積四邊形相等，并簡要說明尋找點的作法；

②若四邊形，直接寫出的長 ．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）①說明尋找點F的作法見解析；②．

【解析】

（1）①延長交于，根據勾股定理建立等式即可求出答案；

②由根與系數的關系求出a+b及ab，利用①即可用m分別表示a與b，再整理求出m即可得到答案；

（2）①取的中點，連接并延長至，連接、、、，則四邊形為平行四邊形，且CF∥DE，且CE∥DF，根據平行四邊形的性質得到，即可證得結論；

②利用平行四邊形的性質根據SAS證明，得到為等腰直角三角形，根據四邊形，求出即可求出答案.

（1）解：①如圖1，延長交于，

，，

在中由勾股定理得，，

又∵，

∴，

∴或，

又∵，

∴；

②由根與系數的關系，，

由，，

解得，，

∴，

整理得，，

解得，，

∵，

∴，

當時，方程為，這個方程有兩個不相等的正根，

∴符合題意，

∴；

（2）解：①如圖2，取的中點，連接并延長至，使OE=OF，連接、、、，則四邊形為平行四邊形，且CF∥DE，且CE∥DF，

∴

∴四邊形四邊形；

②∵CE∥DF，

∴∠EFC=∠DEF=90°，

∵∠ABC=90°，

∴∠BCF+∠BAF=∠BAF+∠BAE=180°，

∴∠BCF=∠BAE，

∵CF=DE=AE，BC=BA，

∴，

∴EB=FB，∠ABE=∠CBF,

∴∠EBF=90°，

∴為等腰直角三角形，

∵四邊形，

∴，

∴．

∴．