Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線都經過、兩點，該拋物線的頂點為C．

（1）求此拋物線和直線的解析式；

（2）設直線與該拋物線的對稱軸交于點E，在射線上是否存在一點M，過M作x軸的垂線交拋物線于點N，使點M、N、C、E是平行四邊形的四個頂點？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）設點P是直線下方拋物線上的一動點，當面積最大時，求點P的坐標，并求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為，直線的解析式為，（2）或．（3）當時，面積的最大值是，此時P點坐標為．

【解析】

（1）將、兩點坐標分別代入二次函數的解析式和一次函數解析式即可求解；

（2）先求出C點坐標和E點坐標，則，分兩種情況討論：①若點M在x軸下方，四邊形為平行四邊形，則，②若點M在x軸上方，四邊形為平行四邊形，則，設，則，可分別得到方程求出點M的坐標；

（3）如圖，作軸交直線于點G，設，則，可由，得到m的表達式，利用二次函數求最值問題配方即可．

解：（1）∵拋物線經過、兩點，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為，

∵直線經過、兩點，

∴，解得：，

∴直線的解析式為，

（2）∵，

∴拋物線的頂點C的坐標為，

∵軸，

∴，

∴，

①如圖，若點M在x軸下方，四邊形為平行四邊形，則，

設，則，

∴，

∴，

解得：，（舍去），

∴，

②如圖，若點M在x軸上方，四邊形為平行四邊形，則，

設，則，

∴，

∴，

解得：，（舍去），

∴，

綜合可得M點的坐標為或．

（3）如圖，作軸交直線于點G，

設，則，

∴，

∴，

∴當時，面積的最大值是，此時P點坐標為．