Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，BC為⊙O的弦，過O點作OD⊥BC，交⊙O的切線CD于點D，交⊙O于點E，連接AC、AE，且AE與BC交于點F．

（1）連接BD，求證：BD是⊙O的切線；

（2）若AF：EF=2：1，求tan∠CAF的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）根據全等三角形的性質得到∠OBD=∠OCD=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）根據已知條件得到AC∥DE，設OD與BC交于G，根據平行線分線段成比例定理得到AC：EG=2：1，EG=AC，根據三角形的中位線的性質得到OG=AC于是得到AC=OE，求得∠ABC=30°，即可得到結論．

證明：（1）∵OC=OB，OD⊥BC，

∴∠COD=∠BOD，

在△COD與△BOD中，

，

∴△COD≌△BOD，

∴∠OBD=∠OCD=90°，

∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵AB為⊙O的直徑，AC⊥BC，

∵OD⊥CB，

∴AC∥DE，

設OD與BC交于G，

∵OE∥AC，AF：EF=2：1，

∴AC：EG=2：1，即EG=AC，

∵OG∥AC，OA=OB，

∴OG=AC，

∵OG+GE=AC+AC=AC，

∴AC=OE，

∴AC=AB，

∴∠ABC=30°，

∴∠CAB=60°，

∵，

∴∠CAF=∠EAB=∠CAB=30°，

∴tan∠CAF=tan30°=．