Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，△OAB是等邊三角形，點B的坐標為（4，0），點C（a，0）是x軸上一動點，其中a≠0，將△AOC繞點A逆時針方向旋轉60°得到△ABD，連接CD．

（1）求證；△ACD是等邊三角形；

（2）如圖2，當0＜a＜4時，△BCD周長是否存在最小值？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

（3）如圖3，當點C在x軸上運動時，是否存在以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）存在，a=2；（3）a=8．

【解析】

（1）根據旋轉變換的性質、等邊三角形的判定定理證明；

（2）證明△OAC≌△BAD，根據全等三角形的性質得到BD=OC，根據等邊三角形的性質計算即可；

（3）分點C在x軸的負半軸上、點C在線段OB上、點C在點B的右側三種情況，根據直角三角形的性質計算．

（1）證明：由旋轉變換的性質可知，AC=AD，∠CAD=60°，

∴ACD是等邊三角形；

（2）解：存在，a=2，

理由如下：∵△OAB和△ACD都是等邊三角形，

∴AO=AB，AC=AD，∠OAB=∠CAD=60°，

∴∠OAB-∠CAB=∠CAD-∠CAB，即∠OAC=∠BAD，

在△OAC和△BAD中，

，

∴△OAC≌△BAD（SAS）

∴BD=OC，

∴△BCD周長=BC+BD+CD=BC+OC+CD=OB+CD，

當CD最小時，△BCD周長最小，

∵ACD是等邊三角形，

∴CD=AC，

當AC⊥OB時，即OC=2，AC最小，最小值為=2，

∴△BCD周長的最小值為4+2，此時a=2；

（3）解：當點C在x軸的負半軸上時，∠BDC=90°，

則∠ADB=30°，

∵△OAC≌△BAD，

∴∠ACO=∠ADB=30°，

∴∠BCD=30°，

∴BD=BC，

∴OC=BC，

∴OC=4，

則a=-4；

當點C在線段OB上時，∠DBC=120°，

∴不存在以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形，

∴a不存在；

當點C在點B的右側時，∠BCD=90°，

則∠ACO=30°，

∵∠AOC=60°，

∴∠OAC=90°，又∠ACO=30°，

∴OC=2OA=8，

∴a=8．